9 класс

Тема: "Электронные таблицы"

Исследование функции y(x) = ax² + bx + c

Описание проекта

Данная задача относится к разряду краткосрочных проектов (3- 4 урока). Особенностью данного проекта является то, что для его выполнения необходимо воспользоваться знаниями, полученными на уроках математики по теме "Квадратный трехчлен". Практика показывает, что ученики затрудняются выполнить данный проект полностью самостоятельно. При постановке задачи преподавателю следует обратить внимание на особенности задачи и помочь учащимся разработать математическую модель и алгоритм.

На постановку задачи и разъяснения математических и алгоритмических деталей требуется один урок, после которого учащиеся получают домашнее задание на разработку проекта. Под проектом понимается написание документа, содержащего: формулировку задания, определение исходных данных, выбор и обоснование исполнителя, формулировку задания для исполнителя, алгоритм решения задачи, математическую модель и примерный эскиз внешнего вида готового документа.

Пример выполнения проекта

Постановка задачи

Провести исследование функции вида y(x) = ax² + bx + c и построить его график.

Исходные данные

• a, b, c, - коэффициенты многочлена,
• Т - количество точек графика.

Исполнитель

Компьютер -> электронная таблица -> Excel. Данный исполнитель позволяет проводить расчеты, строить графики, реализовывать ветвящиеся алгоритмы, сделать удобный интерфейс пользователя.

Формулировка задания под исполнителя

Разработать авторасчетный документ, отображающий основные характеристики многочлена второго порядка по заданным коэффициентам a, b, c и количеству точек, построить график данной функции.

Математическая модель

1. Расчет корня линейной функции: x_л = - с / b
2. Расчет дискриминанта: D = b² - 4ac
3. Расчет корней параболической функции:
   x₁ = (-b + sqr(D)) / (4ac),
   x₂ = (-b - sqr(D)) / (4ac)
4. Расчет вершины: x_в = -b / (2a)
5. Расчет начальной точки для параболической функции с 2-я корнями функции.

   Примечание: в качестве крайней точки необходимо выбрать такую, чтобы график функции, выводимый на экран, отражал основные характеристики: корни и вершину. Поэтому удобно в качестве начальной точки выбрать такую, которая удалена от вершины на расстояние равное разнице между вершиной и корнем.

   х_н = х_в - 2х²
6. Расчет точности (шага) для параболической функции с двумя корнями. Тч = (х_в - х²) / (Т / 4)
7. Расчет точности для параболической функции с одним корнем.

   Примечание: здесь корень и вершина имеют общую ординату. Электронная таблица Excel имеют свойство нормировать график функции по заданному диапазону, поэтому начальную точку и точность можно взять произвольными, с условием, что диапазон х_в-х_н = Тч*(Т/2)

   Тч = заданное значение (например, 0.1)
8. Расчет начальной точки для параболической функции с одним корнем. х_н = х_в - Тч * (Т / 2)
9. Расчет точности для линейной функции.

   Примечание: аналогично с расчетом для случая с одним корнем, только в качестве хв берется значение корня.

10. Расчет начальной точки для линейной функции. х_н = х_л - Тч * (Т / 2)
11. Расчет текущего значения ординаты, кроме первой (x₁ = х_н) x_i = x_i-1 + Тч, где i - номер текущей ординаты, i<>1
12. Расчет текущего значения функции y(x_i) = ax_i² + bx_i + c

Алгоритм решения задачи

1. Ввод исходных данных.
2. Анализ a: если а = 0 тогда 3, иначе 7.
3. Вывод: функция линейная.
4. Расчет корня линейной функции.
5. Расчет начальной точки графика.
6. Переход на 18.
7. Анализ а: если а > 0, тогда Вывод: ветви направлены вверх, иначе Вывод: ветви направлены вниз
8. Расчет дискриминанта и вершины графика
9. Анализ D: если D < 0, тогда 17.
10. Анализ D: если D = 0, тогда 14.
11. Расчет корней.
12. Расчет начальной точки по оси х.
13. Переход на 18.
14. Расчет и вывод корня.
15. Расчет начальной точки.
16. Переход на 18.
17. Расчет начальной точки по оси х.
18. Построение графика
19. Конец

Эскиз